Introducción

Estimados estudiantes, reciban de mi parte y de parte de la cátedra de álgebra lineal un saludo.

El álgebra lineal es una rama de la matemática de la cual se tienen indicios desde aproximadamente 1900ac con los babilonios, a partir de ese remoto momento se ha ido desarrollando, para encontrase en nuestros días con una serie de aplicaciones practicas a casi cualquier ámbito de nuestra cultura actual. 

El Álgebra Lineal es aplicada desde los motores de búsqueda Web (ver video), hasta modelado de situaciones que implican el movimiento de elementos y sus interrelaciones (cadenas de Markov, teoría de grafos, análisis de circuitos). El álgebra puede utilizarse en la optimizacion de situaciones de múltiples variables (tema de calculo III), en la encriptacion de datos, mecánica de objetos, entre otros. 

A partir de las implicaciones anteriores, hoy en día casi todas las carreras (por no decir todas), llevan en su currículo temas introductorios de álgebra Lineal.

Específicamente el curso a desarrollar abarcara los temas de:

• Matrices. 
• Determinantes.

• Sistemas de ecuaciones.
• Geometría vectorial.(revista digital del TEC)
• Espacios vectoriales.

• Transformaciones lineales.
• Valores y vectores propios.
• Curvas y superficies cuadráticas. (cónicas)

Existe un material libre muy completo sobre el curso es: -----aca---------
Espero les sirva como apoyo adicional al libro de texto

El prof. Chistian Fonseca tiene también el siguiente material de ejercicios y soluciones

La evaluación del curso esta dividida de la siguiente manera:

I Parcial  Viernes 22 de Enero 8:00 a.m (30%)

II Parcial Viernes 12 de Febrero 8:00 a.m (35%)
III Parcial Viernes 26 de Febrero 8:00 a.m (35%)

Ampliación: Jueves 03 de Marzo 8:00 a.m. (todos los temas)

Cualquier consulta puede hacerla al correo: rael.rojas@ucr.ac.cr
Recuerde visitar el aula virtual (no oficial) del curso en: http://moodlenew.emate.ucr.ac.cr/

A continuación tome unos minutos para leer la carta al estudiante IIIC-2015.

Para estar en contacto con ustedes en caso de imprevistos, les agradecería llenaran el siguiente cuestionario

Semana 1: Matrices ( I parte)

• Definición de matriz y entrada de una matriz (¿ sirven las matrices?)
• Matriz reglón (fila), matriz columna, Matriz nula, Matriz identidad. Matrices Triangulares(superiores e inferiores) 
• Traza de una matriz cuadrada 
• Operaciones con matrices (suma - resta - producto escalar, multiplicación) 
• Transpuesta de una Matriz (transpuesta de una suma, transpuesta de un producto). Matrices simétricas - antisimetricas - ortogonales y propiedades
• Potencia de una matriz (matrices nilpotentes - idempotentes) 

MATERIAL SEMANA 1

Semana 2: Matrices (2 parte)

• Inversa de una matriz (método multiplicación)
• Operaciones elementales entre filas. Matrices equivalentes, forma escalón y escalón reducida (gauss- Jordan). Rango de una matriz. Inversa general de una matriz (método de la matriz extendida)

Material complementario: Matrices y determinantes(pdf)

MATERIAL SEMANA 2

Ejercicios Álgebra Lineal matrices

Ejercicios recomendados del libro: 1-2-5-10-14-18-20-21-23-29-32-33-35-37-41

Semana 3: Determinantes

• Definición del determinante de una matriz cuadrada y sus propiedades. 
• Cálculo del determinante de una matriz triangular. (determinante de una matriz 2x2 y 3x3 método de sarrus ) 
• Cálculo de determinantes aplicando operaciones elementales sobre las filas y/o columnas de matriz.(método de cofactores) (definición de menor y cofactor)
• Calculo de Determinantes por reducción: Intercambio entre filas / Columnas, multiplicación fila /columna por escalar, Combinación lineal entre filas /Columnas.
• Cálculo del determinante de una matriz nxn por reducción a matriz triangular.
• Algebra de determinantes: determinante de un producto, una potencia, una constante por una matriz, una inversa, de una matriz transpuesta.
• Cálculo de la inversa de una matriz usando la matriz adjunta
• Relación entre el rango de una matriz y su determinante.

Ejercicios resultos lipshuz - Determinantes

Ejercicios sugeridos de Libro: 2 al 11, 15-16-17-18-19

MATERIAL SEMANA 3

Semana 4: Sistema de Ecuaciones

Sistemas de n ecuaciones lineales en m variables. Matriz de coeficientes y matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales.
Solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes y su relación con las operaciones elementales sobre las filas de una matriz.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales que depende de uno o más parámetros.
Combinación lineal de un conjunto de vectores de IRn . Dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores de IRn .
Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos y homogéneos. Regla de Cramer.

MATERIAL SEMANA 4

Ejercicios recomendados del libro: 1-4:2.,4.- 5: 1.- 6 –7- 8- 10 – 11 – 14 – 15 – 19- 23.

Ejercicios resueltos lipshuz - Sistemas de ecuaciones

Semana 5: Geometria Vectorial

Importancia de la matemática vectorial https://www.youtube.com/watch?v=U-jlgeN97qk

•  Representación geométrica de un vector. Suma y resta de vectores, su representación geométrica y propiedades. 
• Producto escalar de vectores y sus propiedades.
•  Norma de un vector. Ángulo entre dos vectores. Producto cruz en IR3 y sus  Propiedades.
• vectores unitarios.
• Área y volumen de figuras geométricas.
• Proyecciones ortogonales - componente ortogonal 

MATERIAL SEMANA 5

Ejercicios recomendados del libro: 1 al 12 -14 al 18- 21- 26-28-29-30

Semana 7 : Rectas y planos en el espacio

•Ecuación vectorial, simétrica, paramétrica de una recta.
•Rectas paralelas, perpendiculares, ángulo entre rectas e intersección entre rectas, rectas paralelas o perpendiculares a dos dadas
•Distancia entre dos rectas, distancia entre un punto y una recta.

•Ecuación normal, paramétrica y simétrica del plano. Forma de determinante de un plano, dados tres puntos.

•ángulo generado entre planos e intersección entre planos.

•Planos paralelos y perpendiculares a los ejes ordenados.

•Rectas y planos. Paralelos y perpendiculares

•Distancia de un punto a un plano. Distancia entre dos planos.

•Distancia de un punto a una recta.

MATERIAL SEMANA 7

Ejercicios recomendados: 1 al 10, 16, 18, 19, 22, 23, 25, 26

Ejercicios resueltos lipshuz - Geometría Vectorial, rectas y planos en el espacio

Semana 8: Espacios Vectoriales, bases y dimenciones

Definición y propiedades básicas de los espacios vectoriales. Subespacio vectorial.

Combinación lineal de un conjunto de vectores de un espacio vectorial. Conjunto generador de un espacio vectorial.

MATERIAL SEMANA 8

Semana 9: Espacios Vectoriales, bases y dimenciones

Bases y dimensión de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector con respecto a una base. Espacio fila y espacio columna de una matriz.

MATERIAL SEMANA 9

Ejercicios del libro Recomendados: Espacios Vectoriales: 1 al 6, 8 al 13, 15 y 17

Semana 10: Espacios con producto interno (I parte)

Conjunto de vectores ortogonales.
Bases ortonormales.
Complemento ortogonal de un subespacio.

MATERIAL SEMANA 10

Ejercicios propuesto del libro:
Ortogonalidad: 1 al 3, 5, 7 al 12

Semana 11: Espacios con producto interno (II parte)

Proyección ortogonal sobre un subespacio. 

Método de ortonormalización de Gram-Schmidt. 

Distancia de un vector a un subespacio.

MATERIAL SEMANA 11

Semana 12: Transformaciones Lineales (I parte)

Concepto de transformación lineal.
Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Nulidad y rango de una transformación lineal
Relación entre las dimensiones del dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.
Matriz asociada a una transformación lineal.

MATERIAL SEMANA 12

Semana 13: Transformaciones Lineales (II parte)

Inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal.
Determinación de una transformación lineal conocida su acción sobre una base.
Composición de transformaciones lineales y producto de matrices.
Matriz de cambio de base. Rotaciones y reflexiones.
Transformaciones lineales invertibles.

MATERIAL SEMANA 13

Ejercicios recomendados transformaciones Lineales:
1 al 12, 16,17,19,22,23,25,26,28

Semana 14: Valores y vectores propios

Concepto de valor y vector propio. Subespacio asociado a un valor propio. Polinomio característico de una matriz.

Diagonalizacion de matrices. Matrices ortogonalmente diagonalizables. 

MATERIAL SEMANA 14

Ejercicios recomendados para el tema de valores y vectores propios

del 1 al 5, 8, 12, 13, 15, 18, 19, 20,22, 25

Semana 15: Formas Cuadraticas

Formas cuadráticas de dos y de tres variables.

Diagonalizacion de formas cuadráticas. Curvas y superficies cuadráticas. Ecuaciones canónicas de las curvas y superficies cuadráticas. Rotación y traslación de las secciones cónicas. Ejes principales y angulo de rotación .

MATERIAL SEMANA 15